Question

閱讀下列材料：
我們知道|x|的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；即|x|=|x-0|，也就是說，|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點(diǎn)之間的距離；
這個(gè)結(jié)論可以推廣為|x₁-x₂|表示在數(shù)軸上數(shù)x₁，x₂對應(yīng)點(diǎn)之間的距離；
在解題中，我們會(huì)常常運(yùn)用絕對值的幾何意義：
例1：解方程|x|=2，容易得出，在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為±2，即該方程的x=±2；
例2：解不等式|x-1|＞2，如圖，在數(shù)軸上找出|x-1|=2的解，即到1的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為-1，3，
則|x-1|＞2的解為x＜-1或x＞3；
例3：解方程|x-1|+|x+2|=5，由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和-2的距離之和為5的點(diǎn)對應(yīng)的x的值，在數(shù)軸上，1和-2的距離為3，滿足方程的x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或-2的左邊，若x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊，如圖可以看出x=2；同理，若x對應(yīng)點(diǎn)在-2的左邊，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3。
參考閱讀材料，解答下列問題：

（1）方程|x+3|=4的解為____；
（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；
（3）若|x-3|-|x+4|≤a對任意的x都成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）1或-7；
（2）∵3和-4的距離為7，
因此，滿足不等式的解對應(yīng)的點(diǎn)3與-4的兩側(cè)，
當(dāng)x在3的右邊時(shí)，如圖，

易知x≥4，
當(dāng)x在-4的左邊時(shí)，如上圖，
易知x≤-5，
∴原不等式的解為x≥4或x≤-5；
（3）原問題轉(zhuǎn)化為：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值，
當(dāng)x≥-1時(shí)，|x-3|-|x+4|≤0，
當(dāng)-4＜x＜-1，|x-3|-|x+4|=-2x-1隨x的增大而減小，
當(dāng)x≤-4時(shí)，|x-3|-|x+4|=7，即|x-3|-|x+4|的最大值為7，
故a≥7。