Question

點(diǎn)E是矩形ABCD邊CD所在直線上一點(diǎn)，且DE=

1

3

CD，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，若AB=3，AD=4，則折痕的長為

 

．

Answer 1

分析：由DE、CD的比例關(guān)系，易求得DE的長，然后分兩種情況考慮：
①E點(diǎn)在線段CD上，設(shè)折線為M、N，首先在Rt△ADE中，利用勾股定理求得PE的長，設(shè)折線MN與PE的交點(diǎn)為O，那么在Rt△PON中，可求得ON的值；然后延長PE交AD的延長線于F，根據(jù)△MOF∽△NOB來求得MO的值，從而由OM+ON得到折痕MN的長；
②E點(diǎn)在線段CD的延長線上，解法同上．

解答：解：如圖；
由題意知：DE=

1

3

CD=1；
①當(dāng)E點(diǎn)在線段CD上時(shí)，DE=1，CE=2；
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
BE=

BC2+CE2

=2

5

；
由于折痕MN垂直平分BE，則OB=OE=

5

；
在Rt△BON中，ON=OB•tan∠EBC=

1

2

OB=

5

2

；
延長BE至F，則DF=2DE=2，EF=

5

；
易知：△BON∽△FOM，則：

OB

OF

=

ON

OM

，即

5

2 5

=

ON

OM

，故OM=2ON；
∴MN=3ON=

3 5

2

；
②當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長線上時(shí)，DE=1，CE=4；
此時(shí)△BCE是等腰直角三角形，故N、C重合；
易得：BO=ON=OE=2

2

；
在Rt△DEF中，∠E=45°，則DF=DE=1，EF=

2

；
∴OF=OE-EF=

2

；
同①可得：

ON

OM

=

OB

OF

=

2 2

2

，即ON=2OM，
∴MN=

3

2

ON=3

2

；
綜上可知：折痕MN的長為：

3 5

2

或3

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了圖形的翻折變換、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，由于E點(diǎn)的位置不確定，因此要注意分類討論思想的運(yùn)用，以免漏解．