【答案】
分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出BC=CD=AO=5,可在直角三角形OCD中,根據(jù)CD和OD的長(zhǎng)用勾股定理求出OC的值.即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)本題的關(guān)鍵是求出E點(diǎn)的坐標(biāo),可設(shè)AE=x,那么BE=DE=4-x,在直角三角形DEA中,用勾股定理即可求出AE的長(zhǎng),也就求得了E點(diǎn)的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)DE的解析式.
(3)根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出拋物線(xiàn)的待定系數(shù)中c=4,根據(jù)拋物線(xiàn)的和等邊三角形的對(duì)稱(chēng)性,如果△CMG是等邊三角形,G必為拋物線(xiàn)頂點(diǎn),可據(jù)此表示出G點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)BC的交點(diǎn)為F,那么可根據(jù)G點(diǎn)的坐標(biāo)和C點(diǎn)的坐標(biāo)求出CF和FG的長(zhǎng),然后根據(jù)△CMG是等邊三角形FG=
FC,據(jù)此可求出b的值,即可確定拋物線(xiàn)的解析式,然后根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式即可求出G點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)根據(jù)題意,得CD=CB=OA=5,OD=3,
∵∠COD=90°,
∴OC=
=4.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,4);
(2)∵AB=OC=4,設(shè)AE=x,
則DE=BE=4-x,AD=OA-OD=5-3=2,
在Rt△DEA中,DE
2=AD
2+AE
2.
∴(4-x)
2=2
2+x
2.
解之,得x=
,
即點(diǎn)E的坐標(biāo)是(5,
).
設(shè)DE所在直線(xiàn)的解析式為y=kx+b,
∴
解之,得
∴DE所在直線(xiàn)的解析式為y=
x-
;
(3)∵點(diǎn)C(0,4)在拋物線(xiàn)y=2x
2+
bx+c上,
∴c=4.
即拋物線(xiàn)為y=2x
2+
bx+c.
假設(shè)在拋物線(xiàn)y=2x
2+
bx+c上存在點(diǎn)G,使得△CMG為等邊三角形,
根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及等邊三角形的性質(zhì),得點(diǎn)G一定在該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)上.
設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m,n),
∴m=-
,n=
=
,
即點(diǎn)G的坐標(biāo)為(-
,
).
設(shè)對(duì)稱(chēng)軸x=-
b與直線(xiàn)CB交于點(diǎn)F,與x軸交于點(diǎn)H.
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-
b,4).
∵b<0,
∴m>0,點(diǎn)G在y軸的右側(cè),
CF=m=-
,F(xiàn)H=4,F(xiàn)G=4-
=
.(*)
∵CM=CG=2CF=-
,
∴在Rt△CGF中,CG
2=CF
2+FG
2,
(-
)
2=(-
)
2+(
)
2.
解之,得b=-2.
∵b<0
∴m=-
b=
,n=
=
.
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(
,
).
∴在拋物線(xiàn)y=2x
2+
bx+c(b<0)上存在點(diǎn)G(
,
),使得△CMG為等邊三角形.
在(*)后解法二:Rt△CGF中,∠CGF=
×60°=30度.
∴tan∠CGF=
=tan30度.
∴
.
解之,得b=-2.
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.