Question

如圖，已知點(diǎn)A（0，0），B(

3

 ， 0)，C（0，1），在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使其一邊在x軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個(gè)△AA₁B₁，第2個(gè)△B₁A₂B₂，第3個(gè)△B₂A₃B₃，…，則第1個(gè)等邊三角形的邊長等于

 

，第n（n≥1，且n為整數(shù)）個(gè)等邊三角形的邊長等于

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題目已知條件可推出，AA₁=

3

2

OC=

3

2

，B₁A₂=

3

2

A₁B₁=

1

2

×

3

2

=

3

22

，依此類推，第n個(gè)等邊三角形的邊長等于

3

2n

．

解答：解：∵OB=

3

，OC=1，
∴BC=2，
所以第1個(gè)等邊三角形的邊長等于AA₁=

3

2

OC=

3

2

，
∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．
而△AA₁B₁為等邊三角形，∠A₁AB₁=60°，
∴∠COA₁=30°，則∠CA₁O=90°．
在Rt△CAA₁中，AA₁=

3

2

OC=

3

2

，
同理得：B₁A₂=

3

2

A₁B₁=

3

22

，
依此類推，第n個(gè)等邊三角形的邊長等于

3

2n

．
故答案為：

3

2

，

3

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及解直角三角形，從而歸納出邊長的規(guī)律．