Question

在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，3），以M為圓心，以M0為半徑作⊙M，分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式；
（2）點(diǎn)P（x，0）為x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交直線AB、線段OM于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)E作y軸的垂線交直線AB于點(diǎn)F．設(shè)線段DF的長(zhǎng)為y（y＞0），求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在x的值，使得經(jīng)過D、E、M三點(diǎn)的圓與△AOB三邊中某一邊所在的直線相切？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出A，B坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）利用OP=x，得出PE=，p（x，）即可得出DE的長(zhǎng)，再利用tan∠AFE=tan∠ABO，得出DF與DE關(guān)系求出即可；
（3）分別根據(jù)①當(dāng)⊙G與y軸相切時(shí)以及②當(dāng)⊙G與x軸相切時(shí)，③利用∠GTD=90°，則DG＞GT，得出⊙G始終與直線AB相交，即可得出符合要求的答案．
解答：解：（1）過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K．
則OB=2OH，OA=2OK
∵M(jìn)（4，3），
∴OB=8，OA=6，
∴B（8，0），A（6，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b
∴，
解得，
∴直線AB的解析式為y=，

（2）∵M(jìn)（4，3），
∴tan∠MOH==，
∵OP=x，
∴PE=，p（x，）
∴DE=PD-PE=-=，
∵EF∥OB，
∴∠OBA=∠AFE，
∴tan∠AFE=tan∠ABO=，
∴DF=），
∴y=（0＜x＜4）；

（3）∵∠MDE=∠MED，∴△DEM是等腰三角形，設(shè)△DEM在外接圓圓心為G，
過點(diǎn)M作MQ⊥DE于點(diǎn)Q，則此圓的圓心G一定在MQ上．
①當(dāng)⊙G與y軸相切時(shí)，
如圖1，則⊙G的半徑GM=GD=2，過G作GT⊥AB于T，
可求DM=，QM=4-x
cos∠DMQ==，
解得：x=，
②當(dāng)⊙G與x軸相切時(shí)，
如圖2，則⊙G的半徑GM=GD=，過G作GT′⊥AB于T′，
可求DM=，QM=4-x
cos∠DMQ==，
解得：x=，
③∵∠GTD=90°，
∴DG＞GT，
∴⊙G始終與直線AB相交．
綜上所述：當(dāng)x=或x=時(shí)，過D、E、M三點(diǎn)的圓與△AOB的一邊所在的直線相切．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)與判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．