Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．點(diǎn)P，Q分別從B，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動，速度為1cm/s，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CA邊向點(diǎn)A運(yùn)動，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動的時(shí)間為x．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，將△PCQ沿直線PQ翻折180°，使C點(diǎn)落到C′點(diǎn)，得到的四邊形CQC′P是菱形；
（2）設(shè)△PQD的面積為y（cm²），當(dāng)0＜x＜2.5時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)0＜x＜2.5時(shí)，是否存在x，使得△PDM與△MDQ的面積比為5：3？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)PC=CQ時(shí)，根據(jù)圖形翻折變換后與原圖形重合，可以判斷出此時(shí)形成的四邊形是菱形．
（2）過點(diǎn)Q作QE⊥BC，由勾股定理可求出AD的值，再根據(jù)△QEC∽△ADC可用x表示出QE的長，再由三角形的面積公式即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）過點(diǎn)Q作QF⊥AD，垂足為F，把三角形的面積比轉(zhuǎn)化成高的比，再分別用x表示出兩三角形的高，根據(jù)比值求出未知數(shù)的值即可．
解答：解：（1）PC=6-x，CQ=2x
要使四邊形CQC′P是菱形，則PC=CQ
即6-x=2x得x=2
∴當(dāng)x=2時(shí)，四邊形CQC′P是菱形．（3）

（2）過點(diǎn)Q作QE⊥BC，垂足為E，
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC
∴AD==4（cm）
∵QE∥AD
∴△QEC∽△ADC，
∴=即=，
∴QE=
又∵PD=3-x
∴y=PD•QE=（3-x）•x
即y=-x²+x（0＜x＜2.5）．（6）

（3）存在．理由如下
過點(diǎn)Q作QF⊥AD，垂足為F
∵S_△PDM：S_△MDQ=5：3
∴PM：MQ=PD：QF=5：3
在Rt△QEC中，EC==x
QF=DE=3-x
（也可由Rt△AEQ Rt△ADC，求得QF）（8）
∴=
解得x=2∴當(dāng)x=2時(shí)，S_△PDM：S_△MDQ=5：3．（10分）
點(diǎn)評：此題是典型的動點(diǎn)問題，涉及到菱形及相似三角形的性質(zhì)，題中的（3）是開放性題目，解法不唯一．