Question

如圖，已知點(diǎn)A在函數(shù)y=

1

x

（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)y=-

3

x

（x＜0）的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y=

6

x

（x＜0）的圖象上，且AB∥x軸，BC∥y軸，四邊形ABCD是以AB、BC為一組鄰邊的矩形．
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

1

2

，2），求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A在函數(shù)y=

1

x

（x＞0）上移動，矩形ABCD的面積是否變化？如果不變，求出其面積；
（3）若矩形ABCD四個頂點(diǎn)A、B、C、D分別在y=

k1

x

(k1＞0，x＞0），y=

k2

x

(k1＜0，x＜0），y=

k3

x

(k1＞0，x＜0），y=

k4

x

(k1＜0，x＞0）上，請直接寫出k₁、k₂、k₃、k₄滿足的數(shù)量關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行于x軸上的兩點(diǎn)其縱坐標(biāo)相同，平行于y軸上的兩點(diǎn)其橫坐標(biāo)相同，以及點(diǎn)在函數(shù)的圖象上即點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)A（a，

1

a

），用含a的代數(shù)式分別表示B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，可知矩形ABCD的面積是一個固定的常數(shù)，因而面積不變；
（3）設(shè)A（t，

k1

t

），則可用含t的代數(shù)式分別表示B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)D也在y=

k4

x

的圖象上，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足此函數(shù)的解析式，從而得出k₁、k₂、k₃、k₄滿足的數(shù)量關(guān)系式．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

1

2

，2），AB∥x軸，
∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，
又點(diǎn)B在函數(shù)y=-

3

x

（x＜0）的圖象上，
∴當(dāng)y=2時，x=-1.5，∴B（-1.5，2），
∵BC∥y軸，
∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1.5，
又點(diǎn)C在函數(shù)y=

6

x

（x＜0）的圖象上，
∴當(dāng)x=-1.5時，y=-4，∴C（-1.5，-4）．
∵AD⊥y軸，
∴D（0.5，-4）．

（2）若點(diǎn)A在函數(shù)y=

1

x

（x＞0）上移動，矩形ABCD的面積不變．理由如下：
如圖，設(shè)AB、CD與y軸分別交于F、G，BC、AD與x軸分別交于E、H，設(shè)A（a，

1

a

），則B（-3a，

1

a

），C（-3a，-

2

a

），D（a，-

2

a

）．
∵矩形ABCD的面積=矩形AFOH的面積+矩形BFOE的面積+矩形CEOG的面積+矩
形DHOG的面積=1+3+6+2=12．

（3）設(shè)A（t，

k1

t

），則B（

k2t

k1

，

k1

t

），C（

k2t

k1

，

k3k1

k2t

），D（t，

k3k1

k2t

），
又∵點(diǎn)D在y=

k4

x

的圖象上，
t•

k3k1

k2t

=k₄，
∴k₁k₃=k₂k₄．

點(diǎn)評：本題主要考查了平行于x軸上的兩點(diǎn)與平行于y軸上的兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義等知識，難度較大．