Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2x+12的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)過點(diǎn)A的直線交y軸正半軸與點(diǎn)M，且點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)．
（1）求直線AM的函數(shù)解析式．
（2）試在直線AM上找一點(diǎn)P，使得S_△ABP=S_△AOB，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)H為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)H，使以A，B，M，H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過函數(shù)y=2x+12求出A、M兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線AM的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，按照等量關(guān)系“

1

2

×|AP|×B到直線AM的距離=S_△AOB”即可求出；
（3）判斷能否構(gòu)成等腰梯形，主要看兩腰能否等腰，本題應(yīng)分別把AB、AM、BM看作底來判斷．

解答：解：（1）∵直線AB的函數(shù)解析式y(tǒng)=2x+12，
∴A（-6，0），B（0，12）．
又∵M(jìn)為線段OB的中點(diǎn)，
∴M（0，6）．
∴直線AM的解析式y(tǒng)=x+6；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x，x+6），則|AP|=

2

|x+6|，B到直線AM的距離d=

|0-12+6|

12+12

=3

2

，
∴

1

2

×

2

|x+6|×3

2

=

1

2

×6×12，
解得：x=6或-18．
∴P（6，12）或P（-18，-12）；

（3）存在這樣的點(diǎn)H，使以A，B，M，H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形．
若以AM為底，BM為腰，過點(diǎn)B作AM的平行線，當(dāng)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-12，0）時(shí)，以A，B，M，H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形；
若以BM為底，AM為腰，過點(diǎn)A作BM的平行線，當(dāng)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-6，18）時(shí)，以A，B，M，H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形；
若以AB為底，BM為腰，過點(diǎn)M作AB的平行線，當(dāng)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-

6

5

，

18

5

）時(shí)，以A，B，M，H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形．
故所求點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-12，0）或（-6，18）或（-

6

5

，

18

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題為一次函數(shù)綜合類的題，需掌握由函數(shù)圖象求點(diǎn)的坐標(biāo)，能夠計(jì)算點(diǎn)到直線的距離．