Question

如圖，ABCD為四邊形，兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后得交點(diǎn)E、F，對(duì)角線BD∥EF，AC的延長(zhǎng)線交EF于G．求證：EG=GF．

Answer 1

分析：過C作EF的平行線分別交AE、AF于M、N．根據(jù)兩條平行線間的距離相等，得三角形BEF的面積等于三角形DEF的面積，則三角形BEC的面積等于三角形DCF的面積；進(jìn)一步證明三角形BMC的面積等于三角形DCN的面積，則MC=NC，結(jié)合平行線分線段成比例定理易證明EG=GF．

解答：證明：如圖，過C作EF的平行線分別交AE、AF于M、N．
由BD∥EF，可知MN∥BD．
易知S_△BEF=S_△DEF．
又

S△BMC

S△BEF

=

S△DCN

S△DEF

，
則S_△BMC=S_△DCN．
則MC=NC．
又

MC

EG

=

AC

AG

=

NC

FG

，
∴EG=GF．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了三角形的面積比的計(jì)算方法：根據(jù)三角形的面積公式；相似三角形的面積比是相似比的平方．