Question

如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，B、C在直線MN上，E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．
（1）連接GD，求證△ADG≌△ABE；
（2）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b為常數(shù)），E是線段BC上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上．判斷當(dāng)E由B向C運(yùn)動時(shí)，∠FCN的大小是否保持不變？若∠FCN的大小不變，請用含a、b的代數(shù)表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發(fā)生改變，請舉例說明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形判定方法進(jìn)行證明即可．
（2）通過構(gòu)建直角三角形來求度數(shù)，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
在△BAE和△DAG中

AB=AD ∠BAE=∠DAG AE=AG

∴△BAE≌△DAG（SAS）．

（2）解：當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時(shí)，∠FCN的大小總保持不變，
理由是：作FH⊥MN于H，
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
結(jié)合（1）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射線CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
在△GAD和△EFH中

∠GDA=∠FHE ∠DAG=∠FEH AG=EF

∴△GAD≌△EFH（AAS），
∵∠ABE=∠EHF，∠BAE=∠FEH，
∴△EFH∽△ABE，
∴EH=AD=BC=b，
∴CH=BE，
∴1

EH

AB

=

FH

BE

=

FH

CH

；
在Rt△FEH中，tan∠FCN=

FH

CH

=

EH

AB

=

b

a

，
∴當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時(shí)，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN=

b

a

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，其重點(diǎn)是通過證三角形全等或相似來得出線段的相等或成比例．