Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂交于A，B兩點，C，D是⊙O₁上的兩點，E，F(xiàn)是⊙O₂上的兩點，BA的延長線、DC的延長線、FE的延長線都交于點P．
通過證明△PBC與△PDA相似，得到的比例式化成等積式為：PC•PD=PA•PB．
問題：（1）PE•PF=PA•PB成立嗎？為什么？
（2）直接寫出PC•PD與PE•PF的數(shù)量關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）PE•PF=PA•PB成立．
理由如下：
在△PBE和△PFA中，
∵∠BPE=∠FPA，∠PBE=∠PFA，
∴△PBE∽△PFA．
∴=．
∴PE•PF=PA•PB．

（2）PC•PD=PE•PF
理由：∵∠CPB=∠APD，∠PBC=∠PDA，
∴△BPC∽△DPA，
∴=，
∴PC•PD=PA•PB，
∵由（1）得：PE•PF=PA•PB，
∴PC•PD=PE•PF．
分析：（1）根據(jù)∠BPE=∠FPA，∠PBE=∠PFA，得出△PBE∽△PFA，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出PE•PF=PA•PB；
（2）利用△PBC與△PDA相似，得到的比例式化成等積式為：PC•PD=PA•PB，再由（1）得出PE•PF=PA•PB，即可得出PC•PD=PE•PF．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)圓周角定里得出∠PBE=∠PFA是解題關(guān)鍵．