Question

如圖，拋物線y=x²-4x+3與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線與拋物線交于另一點(diǎn)E，若經(jīng)過A、B、E三點(diǎn)的⊙M滿足∠EAM=45°，求直線BE的解析式．

Answer 1

解：令y=0，則x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴點(diǎn)A（3，0），B（1，0），
令x=0，則y=3，
∴點(diǎn)C（0，3），
由垂徑定理，點(diǎn)M在AB的垂直平分線上，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，
設(shè)M（2，a），
∵M(jìn)B=MC，
∴（2-1）²+a²=2²+（3-a）²，
解得a=2，
∴點(diǎn)M（2，2），
如圖，連接ME，過點(diǎn)M作MP∥x軸，過點(diǎn)E作EP⊥MP于P，過點(diǎn)A作AQ⊥MP于Q，
∵∠EAM=45°，
∴∠AME=180°-45°×2=90°，
∴∠EMP+∠AMQ=90°，
∵∠AMQ+∠MAQ=180°-90°=90°，
∴∠EMP=∠MAQ，
在△EMP和△MAQ中，，
∴△EMP≌△MAQ（AAS），
∴EP=MQ=3-2=1，MP=AQ=2，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2+2=4，縱坐標(biāo)為2+1=3，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，3），
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
所以，直線BE的解析式為y=x-1．
分析：利用拋物線解析式求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)垂徑定理求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，然后設(shè)M（2，a），再根據(jù)圓的半徑MB=MC，利用勾股定理列式求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，連接ME，過點(diǎn)M作MP∥x軸，再過點(diǎn)E作EP⊥MP于P，過點(diǎn)A作AQ⊥MP于Q，利用“角角邊”證明△EMP和△MAQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EP=MQ，MP=AQ，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．