Question

如圖：E在線段CD上，EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，設(shè)AD=x，BC=y，且（x-3）²+|y-4|=0．
（1）求AD和BC的長；
（2）你認(rèn)為AD和BC還有什么關(guān)系？并驗(yàn)證你的結(jié)論；
（3）你能求出AB的長度嗎？若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知x-3=0，y-4=0，易求解AD和BC的長；（2）根據(jù)∠AEB=90°，可得∠EAB+∠EBA=90°，因?yàn)镋A、EB分別平分∠DAB和∠CBA，則∠DAB+∠ABC=180°，所以AD∥BC；（3）如圖，過E作EF∥AD，交AB于F，則∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，因?yàn)镋A、EB分別平分∠DAB和∠CBA，所以AF=EF=FB，再根據(jù)梯形中位線定理易求AB的長．

解答：解：（1）∵AD=x，BC=y，且（x-3）²+|y-4|=0，
∴AD=3，BC=4．

（2）AD∥BC，
理由是：∵在△AEB中，∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
又∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∴AD∥BC．

（3）能．
如圖，過E作EF∥AD，交AB于F，
∵AD∥BC（已證），EF∥AD，
∴AD∥EF∥BC，
則∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，
∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，
∴AF=EF=FB，
又∵EF∥AD∥BC，
∴EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF=

AD+BC

2

=

7

2

，
∴AB=7．

點(diǎn)評：本題主要考查了平行線的判定和梯形中位線定理，要靈活運(yùn)用已知條件求解．