Question

如圖所示，∠BAC=30°，D為角平分線上一點，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于點F．
（1）求證：△AFD為等腰三角形；
（2）若DF=10cm，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平行線和角平分線的性質，證得等角，利用等角對等邊這一判定定理證明△AFD為等腰三角形．
（2）AD是角平分線，易證∠GFD=30°，又△GFD是直角三角形，所以30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半這一性質，求出DE=5．
解答：（1）證明：如圖所示，
∵DF∥AC，
∴∠3=∠2，
∵AD是角平分線，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴FD=FA，
∴△AFD為等腰三角形．

（2）解：過D作DG⊥AB，垂足為G，
∵∠1=∠2=∠BAC，∠BAC=30°，
∴∠1=15°，
又∵∠1=∠3，
∴∠1=∠3=15°，
∴∠GFD=∠1+∠3=15°+15°=30°，
在Rt△FDG中，DF=10cm，∠GFD=30°，
∴DG=5cm，
∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG=5cm．
點評：本題考查了角平分線和平行線的性質及等腰三角形的判定；正確作出輔助線、計算出各角的度數(shù)是解答本題的關鍵．