Question

（12分）如圖1，在平面上，給定了半徑為的⊙，對(duì)于任意點(diǎn),在射線上取一點(diǎn),使得·＝，這種把點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)的變換叫做反演變換，點(diǎn)與點(diǎn)叫做互為反演點(diǎn)，⊙稱為基圓.

 

 

 

 

 

 

 

 

⑴如圖2，⊙內(nèi)有不同的兩點(diǎn)、，它們的反演點(diǎn)分別是、，則與∠一定相等的角是（    ▲   ）

（A）∠        （B）∠       （C）∠          （D）∠

⑵如圖3，⊙內(nèi)有一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖畫出點(diǎn)的反演點(diǎn)；（保留畫圖痕跡，不必寫畫法）.

⑶如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形．已知基圓的半徑為，另一個(gè)半徑為的⊙，作射線交⊙于點(diǎn)、，點(diǎn)、關(guān)于⊙的反演點(diǎn)分別是、，點(diǎn)為⊙上另一點(diǎn)，關(guān)于⊙的反演點(diǎn)為．求證：∠＝90°.

 

 

Answer 1

（1）（C）

（2）過作⊥交⊙于點(diǎn)，連.

過作⊥交射線于點(diǎn).

點(diǎn)即為所求.

（3）連、.

∵是⊙直徑，

∴∠＝90°.

∵∠是△的外角，

∴∠－∠＝∠.

∵點(diǎn)、關(guān)于⊙的反演點(diǎn)分別是，.

∴

∴△△

∴∠∠

同理：△△

∴∠∠ 

由等式性質(zhì)知：

∠－∠＝∠－∠

∴∠＝∠

即∠＝90°

解析:此題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系