試題分析:(1)首先依據(jù)頂點坐標先求出b的值,然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)過B點作CB的垂線交拋物線與D,然后過D點作x軸的垂線,垂足為E,通過三角形全等即可求得點D的坐標.
(3)由于三角形的各邊,只有OB=2是確定長度的,因此可以以OB為基準進行分類討論:
①OB=OM.因為第二象限內(nèi)點P到原點的距離均大于4,因此OB≠OM,此種情形排除;
②OB=ON.分析可知,只有如答圖2所示的情形成立;
③OB=MN.分析可知,只有如答圖3所示的情形成立.
試題解析:(1)∵對稱軸與x軸交于點B(﹣2,0),
∴A的橫坐標為:x=﹣2,
∴﹣
=﹣2,
解得;b=﹣2,
∴拋物線為y=﹣
x
2﹣2x+c,
∵拋物線y=﹣
x
2+bx+c過點(﹣6,﹣2),
∴代入得﹣2=﹣
×(﹣6)
2﹣2×(﹣6)+c,解得c=4,
∴該拋物線的解析式為:y=﹣
x
2﹣2x+4,
∴y=﹣
x
2﹣2x+4=﹣
(x
2+4x+4)+6)=﹣
(x+2)
2+6
∴A點的坐標為(﹣2,6);
(2)過B點作CB的垂線交拋物線與D,然后過D點作x軸的垂線,垂足為E,
∵∠CBD=90°,
∴∠CBO+∠EBD=90°,
∵∠BCO+∠CBO+90°,
∴∠EBD=∠BCO,∠CBO=∠BDE,
∴在△CBO與△BDE中
∴△CBO≌△BDE(ASA)
∴DE=OB=2,BE=OC=4
∴D點的坐標為(2,﹣2)或(﹣6.2),
把(2,﹣2)或(﹣6.2)分別代入y=﹣
x
2﹣2x+4,(﹣2,2)合適,(﹣6,2)不合適,
∴D點的坐標為:(2,﹣2)
圖1
(3)存在.
若以O、M、N為頂點的三角形與△OBM全等,可能有以下情形:
(I)OB=OM.
由圖象可知,OM最小值為4,即OM≠OB,故此種情形不存在.
(II)OB=ON.
若點M在y軸正半軸上,如答圖2所示:
圖2
此時△OBM≌△OMN,
∴∠OMB=∠OMN,即點P在第二象限的角平分線上,ON=OB=2,M點坐標為:(4,4),
∴直線PE的解析式為:y=﹣
x+2;
若點E在y軸負半軸上,易知此種情形下,兩個三角形不可能全等,故不存在.
(III)OB=MN.
∵OB=2,
∴第二象限內(nèi)對稱軸左側的點到y(tǒng)軸的距離均大于2,
則點M只能位于對稱軸右側或與頂點A重合.
若點M位于第二象限內(nèi)拋物線對稱軸的右側,易知△OMN為鈍角三角形,而△OMB為銳角三角形,則不可能全等;
若點M與點A重合,如答圖3所示,此時△OBM≌△OMN,四邊形MNOB為矩形,
圖3
∴直線MN的解析式為:y=6.
綜上所述,存在以O、M、N為頂點的三角形與△OMB全等,直線MN的解析式為y=6,y=﹣
x+2.