Question

如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中點E，連接AD并延長至點F，使DF=AD，連接BC、BF．
（1）求證：△CBE∽△AFB；
（2）當

BE

FB

=

5

8

時，求

CB

AD

的值．

Answer 1

分析：（1）首先根據三角形的中位線定理證明CD∥BF，從而得到∠ADC=∠F．根據圓周角定理的推論得到∠CBE=∠ADE；可得到∠CBE=∠F．再根據圓周角定理的推論得到∠C=∠A；根據兩個角對應相等，證明兩個三角形相似；
（2）根據（1）中的相似三角形的對應邊成比例以及AF=2AD，可求得

CB

AD

的值．

解答：（1）證明：∵AE=EB，AD=DF，
∴ED是△ABF的中位線，
∴ED∥BF，
∴∠CEB=∠ABF，
又∵∠C=∠A，
∴△CBE∽△AFB．

（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，
∴

CB

AF

=

BE

FB

=

5

8

，
又AF=2AD，
∴

CB

AD

=

5

4

．

點評：本題主要考查三角形中位線定理、平行線的性質、圓周角定理的推論以及相似三角形的性質和判定等知識．