Question

如圖，在四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點O，∠ABD=60°，AB邊長為24厘米，cot∠ADB=．質(zhì)點P以4厘米/秒的速度，從點A出發(fā)沿線路A→B→D作勻速運動，質(zhì)點Q以5厘米/秒的速度，從點D同時出發(fā)，沿線路D→C→B→A作勻速運動．
（1）求BD和CD的長，并確定四邊形ABCD的形狀；
（2）求經(jīng)過多少秒鐘，運動中的質(zhì)點P、Q構(gòu)成的線段與四邊形ABCD的邊平行？（不包括起始位置和兩點均終止的情況）
（3）如果已知質(zhì)點P、Q經(jīng)過12秒后分別到達M、N兩點，然后同時沿原路返回，質(zhì)點P的速度不變，質(zhì)點Q的速度改變?yōu)閍厘米/秒，經(jīng)過3秒后，P、Q分別到達E、F兩點，若△BEF與△AMN相似，求a的值．

Answer 1

解：（1）∵cot∠ADB=
∴∠ADB=60°
∵∠ABD=60°
∴△ABD是等邊三角形
∴AB=AD=BD=24（厘米）
∵BD垂直平分AC，垂足為點O
∴AB=AD=CB=CD=24（厘米），
∴四邊形ABCD為菱形．

（2）∵P、Q運動的速度分別為4厘米/秒、5厘米/秒
∴①當(dāng)點Q在CD上時
∵DQ＞AP
∴PQ不可能與四邊形ABCD的邊平行
②當(dāng)點Q在CB上時 質(zhì)點P運動到點B
∴t==6秒，PQ∥AD
質(zhì)點P運動到BD上 BQ=48-5t₁，BP=4t₁-24
∵PQ∥AB
∴BP=BQ，48-5t₁=4t₁-24，
∴t₁=8秒
③當(dāng)點Q在AB上時BQ=5t₂-48，BP=4t₂-24 質(zhì)點P運動到BD上
∵PQ∥AD
∴BP=BQ，4t₂-24=5t2-48，
∴t₂=24秒 （4t2=96＞AB+BD 不成立）
∴當(dāng)時間為6秒和8秒時，線段PQ與四邊形ABCD的邊平行．

（3）質(zhì)點P、Q經(jīng)過12秒后分別到達M、N兩點，其路程為4×12=48（厘米），5×12=60（厘米）
∵AB+BD=48（厘米），
∴點M與點D重合
∵CD+CB+AB=60（厘米）
∴點N是AB的中點．
∵△ABD是等邊三角形
∴△AMN是直角三角形
又∵點P從M點返回3秒走過的路程4×3=12（厘米）
∴點E與點O重合點Q，從N點返回3秒走過的路程為3a，
若△BEF與△AMN相似，則
①點Q在BN中點F1處3a₁=6，a₁=2；
②點Q在BC四分之一點F₂處（如圖） 3a₂=18，a₂=6；
③點Q在點C處3a₃=12+24，a₃=12．
∴當(dāng)a為2、6和12時，△BEF與△AMN相似．
分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)即可求得∠ADB=90°，則△ABD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可確定四邊形ABCD是菱形；
（2）分點Q在CD上，當(dāng)點Q在CB上時，當(dāng)點Q在AB上三種情況進行討論，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可確定；
（3）可以證得：點M與點D重合，點N是AB的中點，則△AMN是直角三角形．△BEF與△AMN相似根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．
點評：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是理解性質(zhì)，注意分幾種情況討論．