Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，F(xiàn)為邊AB上的一點(diǎn)，BF：AF=m：n（m、n＞0），取CF的中點(diǎn)D，連結(jié)AD并延長交BC于點(diǎn)E．
（1）求BE：EC的值；
（2）若BE=2EC，那么CF所在的直線與邊AB有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．
（3）E點(diǎn)能否成為BC中點(diǎn)？若能，求出相應(yīng)的m：n，若不能，證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）如圖，過點(diǎn)F作FG∥BC交AE于G，
則∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，
∵D是CF的中點(diǎn)，
∴CD=DF，
在△DCE和△DFG中，
，
∴△DCE≌△DFG（AAS），
∴EC=GF，
∵BF：AF=m：n，
∴=，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABE，
∴==，
∴BE：EC=；

（2）若BE=2EC，則BE：EC=2，
由（1）知，=2，
解得m=n，
∴點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，
∵AC=BC，
∴CF⊥AB；

（3）不能．
理由如下：假設(shè)點(diǎn)E能成為BC中點(diǎn)，
則BE=EC，
∴BE：EC=1，
由（1）知=1，
解得m=0，
這與m、n＞0相矛盾，
所以，點(diǎn)E不能成為BC中點(diǎn)．
分析：（1）過點(diǎn)F作FG∥BC交AE于G，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，再根據(jù)中點(diǎn)定義可得CD=DF，然后利用“角角邊”證明△DCE和△DFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EC=GF，然后求出，再求出△AFG和△ABE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到，從而得到BE：EC；
（2）求出BE：EC，然后代入（1）的關(guān)系式計(jì)算即可求出m=n，從而得到點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)解答；
（3）假設(shè)成立，求出BE：EC，然后代入（1）的關(guān)系式計(jì)算即可求出m=0，與已知條件矛盾．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作輔助線，構(gòu)造出全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．