Question

（2011•龍文區(qū)質(zhì)檢）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，∠D=30°．
（1）求證：CA=CD；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積S．

Answer 1

分析：（1）連接OC，利用切線的性質(zhì)和圓的半徑相等即可證明CA=CD；
（2）過O作OE⊥AC于E，由圖可知，圖中陰影部分的面積S=S_△AOC+S_扇形COB，分別求出三角形的面積和扇形的面積即可．

解答：（1）證明：連接OC，
∵過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，
∴OC⊥CD，
∴∠COD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠A=∠D，
∴CA=CD；

（2）解：過O作OE⊥AC于E，
∵∠A=30°，A0=2，
∴OE=1，
∴AE=CE=

3

，
∴AC=2

3

∴S_△AOC=

1

2

×AC×OE=

3

，
∵∠COB=60°，OC=2，
∴S_扇形COB=

1

6

•π×4=

2

3

π，
∴圖中陰影部分的面積S=S_△AOC+S_扇形COB=

3

+

2

3

π．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式和扇形的面積公式，解題的關(guān)鍵是連接圓心和切點構(gòu)造垂直．