Question

【題目】（如圖①，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P， 連接EP．

⑴如圖②，若M為AD邊的中點(diǎn)，①△AEM的周長=_________cm；②求證：EP=AE+DP；

⑵隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn)M不與A、D重合)，△PDM的周長是否發(fā)生變化?請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①6 ②見解析（2）△PDM的周長保持不變，理由見解析

【解析】

（1）①由折疊知BE=EM,AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM,根據(jù)邊長及中點(diǎn)易求周長；②取EP中點(diǎn)G，連接MG，再根據(jù)梯形中位線與三角形中位線解答即可；（2）不變化，可證△AEM∽△DMP，兩個(gè)三角形的周長比為AE：MD，設(shè)AM=x，根據(jù)勾股定理可以用x表示MD的長與△MAE的周長，再根據(jù)周長比等于相似比，即可求解.

（1）①由折疊可知，BE=BM,∠B=∠MEP=90°，

△AEM的周長= AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM.

∵AB=4，M是AD中點(diǎn)，

∴△AEM的周長=6（cm）

②證明：取EP中點(diǎn)G，連接MG，在梯形AEPD中

∵M、G分別為AD、EP的中點(diǎn)

∴

由折疊，得∠EMP=∠B=90°

又G為EP的中點(diǎn)

∴MG=EP

∴EP="AE+DP"

(2)△PDM的周長保持不變

證明：設(shè)AM=xcm，則DM=（4－x）cm

Rt△EAM中，由

∵∠AME+∠AEM=90°

∠AME+∠PMD=90°

∴∠AEM=∠PMD

又∵∠A=∠D=90°

∴△PDM∽△MAE

∴

即

∴

∴△PDM的周長保持不變．