Question

（2007•河南）如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．
（1）求拋物線(xiàn)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
②是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸解析式，可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線(xiàn)，然后將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．
（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據(jù)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用拋物線(xiàn)的解析式求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么E點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為△OAE的高，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)而可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．
①將S=24代入S，x的函數(shù)關(guān)系式中求出x的值，即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)和OE，OA的長(zhǎng)；如果平行四邊形OEAF是菱形，則需滿(mǎn)足平行四邊形相鄰兩邊的長(zhǎng)相等，據(jù)此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形．
②如果四邊形OEAF是正方形，那么三角形OEA應(yīng)該是等腰直角三角形，即E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-3）將其代入拋物線(xiàn)的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點(diǎn)．
解答：解：（1）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x=，
設(shè)解析式為y=a（x-）²+k．
把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得，
解得a=，k=-．
故拋物線(xiàn)解析式為y=（x-）²-，頂點(diǎn)為（，-）．

（2）∵點(diǎn)E（x，y）在拋物線(xiàn)上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y=（x-）²-，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示點(diǎn)E到OA的距離．
∵OA是OEAF的對(duì)角線(xiàn)，
∴S=2S_△OAE=2××OA•|y|=-6y=-4（x-）²+25．
因?yàn)閽佄锞�(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（1，0）和（6，0），
所以自變量x的取值范圍是1＜x＜6．
①根據(jù)題意，當(dāng)S=24時(shí)，即-4（x-）²+25=24．
化簡(jiǎn)，得（x-）²=．
解得x₁=3，x₂=4．
故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，
分別為E₁（3，-4），E₂（4，-4），
點(diǎn)E₁（3，-4）滿(mǎn)足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF是菱形；
點(diǎn)E₂（4，-4）不滿(mǎn)足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF不是菱形；
②當(dāng)OA⊥EF，且OA=EF時(shí)，平行四邊形OEAF是正方形，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，-3），
而坐標(biāo)為（3，-3）的點(diǎn)不在拋物線(xiàn)上，
故不存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的性質(zhì)、菱形和正方形的判定等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度適中．