Question

【題目】已知，矩形ABCD中，延長(zhǎng)BC至E，連接DE，F為DE的中點(diǎn)，連結(jié)AF、CF且AF⊥CF.

求證：(1)∠ADF=∠BCF；

(2)BD=AD+CE.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）根據(jù)F為中點(diǎn)得到CF=DF=EF,再得到∠CDF=∠DCF,再利用矩形的性質(zhì)即可求解；

（2）先根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得到△BDE為等腰三角形，再根據(jù)線段之間的關(guān)系即可證明.

（1）在矩形ABCD中，

∵AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，

∴∠DCE＝90°，

在Rt△DCE中，

∵F為DE中點(diǎn)，

∴DF＝CF，

∴∠CDF=∠DCF,

∴∠ADC＋∠CDF＝∠BCD＋∠DCF，

即∠ADF＝∠BCF；

（2）連接BF，

在△AFD和△BFC中

，

∴△ADF≌△BCF，

∴∠AFD=∠BFC,

∵AF⊥CF，

∴∠AFD+∠AFB =∠BFC+∠AFB=90°

∴BF⊥DE，

∵F為DE中點(diǎn)，

在△BDF和△BEF中

，

∴△ADF≌△BCF，

∴BD=BE

∵BE=BC+CE

∴BD=BC+CE= AD+CE.

故BD=AD+CE.