Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足為D，交⊙O于點E
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CD=2，AD=，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OC．
∵OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠OCA=∠OAC（等邊對等角）；
又∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC=∠CAD，
∴∠ACO=∠CAD（等量代換），
∴OC∥AD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；
而AD⊥CD，
∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切線；

（2）解：∵AD⊥CD，
∴在Rt△ADC中，
AC==4，
連接BC，則∠ACB=90°
∵∠DAC=∠OAC
∴△ADC∽△ACB
∴
∴AB===，
∴OB=AB=×=，
所以⊙O的半徑為．

（3）解：連接OE、OC，
則△OAE為等邊三角形，
∴∠AOE=∠AEO=∠COE=60°，
∴扇形AOE的面積=扇形OCE的面積，
∴△AOE和梯形OCDE的高為：•sin60°=×=2，
∴DE=AD-AE=2-=，
所以圖中陰影部分的面積=（扇形AOE的面積-△AOE的面積）+（梯形OCDE的面積-扇形OCE的面積）
=扇形AOE的面積-△AOE的面積+梯形OCDE的面積-扇形OCE的面積
=梯形OCDE的面積-△AOE的面積
=×（+）×2-××2=（平方單位），
所以圖中陰影部分的面積為（平方單位）．
分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD是⊙O的切線；
（2）首先由勾股定理求出AC，再連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（3）連接OE，OC，則三角形OAE為等邊三角形，角COE為60度，陰影部分面積可以分別求出：上一部分：是個弓形，圓心角等于60度，半徑已經(jīng)求出，因而面積可以求出，下一部分，用梯形OCDE面積減去扇形OCE面積即可．
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的性質(zhì)及已知條件證明三角形相似即可解決問題．