Question

已知平行四邊形ABCD中,對角線AC和BD相交于點O,AC=10,BD=8．

（1）若AC⊥BD,試求四邊形ABCD的面積;

（2）若AC與BD的夾角∠AOD=60°,求四邊形ABCD的面積;

（3）試討論：若把題目中“平行四邊形ABCD”改為“四邊形ABCD”,且∠AOD=θ,AC=a,BD=b,試求四邊形ABCD的面積（用含θ,a,b的代數(shù)式表示）．

 

Answer 1

【答案】

（1）四邊形ABCD的面積=40;

（2）四邊形ABCD的面積S=4S△AOD=20;

（3）四邊形ABCD的面積=absinθ．

【解析】

試題分析：（1）因為AC⊥BD,所以四邊形ABCD的面積等于對角線乘積的一半;

（2）過點A分別作AE⊥BD,CF⊥BD,根據平行四邊形對角線互相平分和正弦定理求出△AOD的面積,那么四邊形ABCD的面積=4△AOD的面積;

（3）作輔助線AE⊥BD,CF⊥BD,利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高,那么四邊形ABCD的面積=△BCD的面積+△ABD的面積．

試題解析：（1）∵AC⊥BD,

∴四邊形ABCD的面積=AC•BD=40;

（2）分別過點A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F．??

∵四邊形ABCD為平行四邊形,

∴AO=CO=AC=5,BO=DO=BD=4．

在Rt△AOE中,sin∠AOE=,

∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=5×=．

∴S△AOD=OD•AE=×4××5=5．

∴四邊形ABCD的面積S=4S△AOD=20;

（3）如圖所示,過點A,C分別作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F．

在Rt△AOE中,sin∠AOE=,

∴AE=AO•sin∠AOE=AO•sinθ．

同理可得

CF=CO•sin∠COF=CO×sinθ．

∴四邊形ABCD的面積

S=S△ABD+S△CBD=BD•AE+BD•CF

=BDsinθ（AO+CO）

=BD•ACsinθ

=absinθ．

考點：1.平行四邊形的性質,2.三角形的面積,3.解直角三角形．