Question

已知：a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a²=（c+b）（c-b）和4c-5b=0，求cosA+cosB的值．

Answer 1

【答案】分析：將已知的等式a²=（c+b）（c-b）右邊利用平方差公式化簡，變形后利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC為直角三角形，且∠C為直角，再由4c-5b=0，得出b與c的比值，根據(jù)比值設(shè)出b與c，利用勾股定理表示出a，利用銳角三角函數(shù)定義將所求式子變形，把表示出的a，b，c代入，整理后即可得到結(jié)果．
解答：解：∵a²=（c+b）（c-b）=c²-b²，即a²+b²=c²，
∴△ABC為直角三角形，且∠C=90°，
又4c-5b=0，∴=，
設(shè)b=4k，則c=5k，
根據(jù)勾股定理得：a=3k，
則cosA+cosB=+==．
點(diǎn)評：此題屬于解直角三角形的題型，涉及的知識有：勾股定理的逆定理，比例的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出三角形為直角三角形是本題的突破點(diǎn)．