Question

如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A是X軸上的一點(diǎn)，C是Y軸上的一點(diǎn)，OB是以A圓心的半圓的直徑，BD∥AC交半圓于D，其BD=2，
（1）當(dāng)A、C的坐標(biāo)分別為（x，0），（0，y）時(shí)，請(qǐng)用x的代數(shù)式表示y；
（2）當(dāng)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）時(shí)，求過(guò)C、D兩點(diǎn)，頂點(diǎn)在直線x=2上的拋物線的解析式；
（3）在所求的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S_△POB=2S_△OAD？

Answer 1

分析：（1）可通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求解，連接OD，那么根據(jù)A，C的坐標(biāo)可得，OB=2x，OC=y，那么通過(guò)相似三角形OCA和DOB可得出關(guān)于OD，OA，BD，OB的比例關(guān)系，即可得出用x表示y的代數(shù)式．
（2）當(dāng)A的坐標(biāo)為2時(shí)，即x=2，然后代入（1）中各線段的表達(dá)式中，不難得出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，那么根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在x=2上，那么可用頂點(diǎn)式來(lái)設(shè)二次函數(shù)，然后將C，D的坐標(biāo)代入即可得出拋物線的解析式．
（3）可先求出三角形POB的面積，由于OB的長(zhǎng)為定值，因此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，由于（2）的拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)且開(kāi)口向上，因此P的縱坐標(biāo)為正值，然后將P點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由A（x，0），可得：B（2x，0）；
所以，OA=x，OB=2x，BD=2．
連接OD，則有：OD⊥BD；由勾股定理可得：OD=2

x2-1

因?yàn)椋珺D∥AC，
所以，∠OAC=∠DBO；
而且，∠AOC=90°=∠BDO，可得：△OAC∽△DBO；
所以，

OC

OD

=

OA

BD

，
可求得：OC=x

x2-1

由C（0，y），可得：y=x

x2-1

．

（2）由A（2，0），利用（1）中求得的各線段表達(dá)式，
容易求得：C（0，2

3

），D（3，

3

）．
設(shè)所求的頂點(diǎn)在直線x=2上的拋物線的解析式為y=a（x-2）²+b；
拋物線過(guò)C、D兩點(diǎn)，將C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，
可求得：a=

3

3

，b=

2 3

3

．
代入拋物線的解析式，
可得：y=

3

3

x²-

4 3

3

x+2

3

．

（3）設(shè)使得S_△POB=2S_△OAD的點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），
則有：S_△POB=2n，2S_△OAD=2

3

；
所以，2n=2

3

，
解得：n=

3

．
點(diǎn)P在拋物線上，得：n=

3

3

m²-

4 3

3

m+2

3

，
將n=

3

代入，
可求得：m=1或m=3．
所以，存在這樣的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（1，

3

）或（3，

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，通過(guò)構(gòu)建相似三角形得出x，y的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．