Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，過M作ME⊥MF，ME交AB于E，MF交AC于F．
（1）試判斷△EMF是什么形狀的三角形，并證明；
（2）以線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成直角三角形？若能，請(qǐng)加以證明；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）連接AM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△AFM≌△BEM，就有EM=FM，進(jìn)而得出△EMF是等腰直角三角形；
（2）由△AFM≌△BEN可以得出BE=AF，再通過證明△AME≌△CMF就可以得出AE=CF，就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）△EMF是等腰直角三角形
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，
∴AB=AC，∠B=∠C=45°．
∵點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，
∴AM=MB=MC，∠AMC=∠AMB=90°，∠BAM=∠CAM=45°，
∴∠B=∠C=∠BAM=∠CAM．∠AME+∠BME=90°．∠AMF+∠CMF=90°
∴ME⊥MF
∴∠EMF=90°，
∴∠AME+∠AMF=90°，
∴∠BME=∠AMF，∠AME=∠CMF．
在△AFM和△BEM中，

∠B=∠MAF BM=AM ∠BME=∠AMF

，
∴△AFM≌△BEM（ASA），
∴FM=EM．
∵∠EMF=90°，
∴△EMF是等腰直角三角形；

（2）線段BE、EF、FC為邊能構(gòu)成直角三角形．
∵△AFM≌△BEM
∴AF=BE．
在△AME和△CMF中，

∠BME=∠C AM=CM ∠AME=∠CMF

，
∴△AME≌△CMF（ASA），
∴AE=CF．
∵∠BAC=90°，
∴AE²+AF²=EF²，
∴CF²+BE²=EF²．
∴線段BE、EF、FC為邊能構(gòu)成直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的判定的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．