Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊順次為a、b、c，∠C=90°．若關(guān)于x的方程c（x²+1）-bx-a（x²-1）=0的兩根平方和為10，則的值為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：將原方程整理為一元二次方程的一般形式，設(shè)方程兩根為x₁，x₂，再根據(jù)兩根平方和為10，列出等式并變形，將兩根關(guān)系整體代入即可．
解答：原方程整理為（c-a）x²-bx+（c+a）=0，
設(shè)x₁，x₂是方程的兩個(gè)根，則x₁²+x₂²=10，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
把方程根公式代入，得
（）²-2×=10，即4b²-（c²-a²）=5（c-a）²，
由勾股定理得：c²-a²=b²，代入以上方程整理后有
3b²=5（c-a）²．
∵c是斜邊，
∴c＞a，兩邊開(kāi)平方，得
b+a=c，
兩邊同時(shí)平方得，
3b²+5a²+2ab=5c²，
再次將勾股定理代入得，
3b²+5a²+2ab=5a²+5b²，
2b²=2ab，
∴=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的邊角關(guān)系，根與系數(shù)關(guān)系，勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意得出x₁²+x₂²=10，將等式變形，將根與系數(shù)關(guān)系代入，結(jié)合勾股定理求解．