如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1.點(diǎn)P在AC上,PQ⊥BP,交CD于Q,PE⊥CD,交于CD于E.點(diǎn)P從A點(diǎn)(不含A)沿AC方向移動,直到使點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合為止.
(1)設(shè)AP=x,△PQE的面積為S.請寫出S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并確定x的取值范圍.
(2)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中,△PQE的面積是否有最大值?若有,請求出最大值及此時(shí)AP的取值;若無,請說明理由.

【答案】分析:(1)過點(diǎn)P作PF⊥BC,垂足為F,易證△PFC∽△ABC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,可以求出BC、AB.證明△ABK∽△ACB,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等就可以求解.
(2)△PQE面積有最大值,就是求函數(shù)的最值問題,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)就可以求解.
解答:解:(1)過點(diǎn)P作PF⊥BC,垂足為F.
∵在矩形ABCD中,PF∥AB
∴△PFC∽△ABC(1分)

又∵AP=x,BC=AD=1,AB=2
又∵在Rt△ABC中,
∴PC=3-x


(2分)
又∵PE⊥CD
∴∠PEC=90°
又在四邊形PFCE中,∠PFC=∠BCD=∠PEC=90°
∴四邊形PFCE為矩形
∴∠FPE=90°
又∵PQ⊥BP
∴∠BPQ=90°
∴∠FPE=∠BPQ
∴∠EPQ+∠QPF=∠BPF+∠FPQ
∴∠EPQ=∠BPF又∠PEQ=∠BFP=90°
∴△PEQ∽△PFB(3分)

又∵PE=FC

又∵



(4分)
∴S=EQ•PE=×
(5分)
過點(diǎn)B作BK⊥AC,垂足為K.
在Rt△ABC中,由等積法可得AC•BK=AB•BC(6分)
∴AC•BK=AB•BC
∴BK==
由題意可得當(dāng)Q與C重合時(shí),P與K重合即AP=AK,
由△ABK∽△ACB



∴x的取值范圍是(7分)

(2)△PQE面積有最大值(8分)
由(1)可得=(9分)
∴當(dāng)時(shí),S面積最大,即S最大=.(10分)
點(diǎn)評:本題是函數(shù)與三角形的相似相結(jié)合的題目,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動,點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動,設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為xs,△PBQ的面積為ycm2,則下列圖象能反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( 。
A、精英家教網(wǎng)B、精英家教網(wǎng)C、精英家教網(wǎng)D、精英家教網(wǎng)

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如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O在對角線AC上,以O(shè)A的長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點(diǎn)E、F,且∠ACB=∠DCE精英家教網(wǎng)
(1)判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若AB=
2
,BC=2,求⊙O的半徑.

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如圖①,在矩形 ABCD中,AB=30cm,BC=60cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C→D路線向點(diǎn)D勻速運(yùn)動,到達(dá)點(diǎn)D后停止;點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿 D→C→B→A路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,到達(dá)點(diǎn)A后停止.若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),在運(yùn)動過程中,Q點(diǎn)停留了1s,圖②是P、Q兩點(diǎn)在折線AB-BC-CD上相距的路程S(cm)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系圖象.
(1)請解釋圖中點(diǎn)H的實(shí)際意義?
(2)求P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度;
(3)將圖②補(bǔ)充完整;
(4)當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí),△PCQ為等腰三角形?請直接寫出t的值.

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如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠AOB=60°,AB=6,則AD=( 。

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(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)x為何值時(shí),y的值最大,最大值是多少?
(3)若設(shè)線段AB的長為m,上述其它條件不變,m為何值時(shí),函數(shù)y的最大值等于3?

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