Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），△AOB為等邊三角形，P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與原O重合），以線段AP為一邊在其右側(cè)作等邊三角形△APQ．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，∠ABQ的大小是否發(fā)生改變？如不改變，求出其大小；如改變，請(qǐng)說明理由．
（3）連接OQ，當(dāng)OQ∥AB時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，

∵△AOB為等邊三角形，且OA=2，

∴∠AOB=60°，OB=OA=2，

∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，

∴BC= OB=1，OC= ，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（ ，1）

（2）解：∠ABQ=90°，始終不變．理由如下：

∵△APQ、△AOB均為等邊三角形，

∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，

∴∠PAO=∠QAB，

在△APO與△AQB中，

，

∴△APO≌△AQB（SAS），

∴∠ABQ=∠AOP=90°

（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，

∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．

又OB=OA=2，可求得BQ= ，

由（2）可知，△APO≌△AQB，

∴OP=BQ= ，

∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（﹣ ，0）．

【解析】（1）如圖，作輔助線；證明∠BOC=30°，OB=2，借助直角三角形的邊角關(guān)系即可解決問題；（2）證明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解決問題；（3）根據(jù)點(diǎn)P在x的正半軸還是負(fù)半軸兩種情況討論，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．