Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=2

3

，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，且BP=3．一動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后，立即以原速度沿AO返回；另一動(dòng)點(diǎn)F從P點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線PA勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．
（1）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）設(shè)EG與矩形ABCD的對(duì)角線AC的交點(diǎn)為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；
（2）按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點(diǎn)，分為0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四種情況，分別寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式；
（3）存在．當(dāng)△AOH是等腰三角形時(shí)，分為AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三種情況，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，列方程求t的值．

解答：解：（1）當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，BC=2

3

，tan∠CFB=

BC

BF

，
即tan60°=

2 3

3-t

，即

3

=

2 3

3-t

，
解得t=1，
∴當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，t=1；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，
當(dāng)0≤t＜1時(shí)，
∵tan60°=

MN

EN

=

2 3

NE

=

3

，
∴EN=2，
EB=3+t，NB=3+t-2=1+t，
∴MC=1+t，
S=

1

2

（MC+EB）×BC=2

3

t+4

3

；

如圖2，當(dāng)1≤t＜3時(shí)，
∵M(jìn)N=2

3

，EF=OP=6，
∴GH=6×

3

2

=3

3

，
∴

MK

EF

=

GH-MN

GH

，
∴MK=2，
∵EB=3+t，BF=3-t，BQ=

3

BF=

3

（3-t），
CQ=2

3

-BQ=

3

t-

3

，
∴S=S_梯形MKFE-S_△QBF=-

3

2

t²+3

3

t+

7 3

2

；


當(dāng)3≤t＜4時(shí)，
∵M(jìn)N=2

3

，EF=6-2（t-3）=12-2t，
∴GH=（12-2t）×

3

2

=6

3

-

3

t，
∴

MK

EF

=

GH-MN

GH

，
∴MK=8-2t，
S=-4

3

t+20

3

；

如圖4，當(dāng)4≤t＜6時(shí)，
∵EF=12-2t，
高為：EF•sin60°=

3

2

EF，
S=

3

t²-12

3

t+36

3

；
綜上所述，S=

2 3 t+4 3 (0≤t＜1) - 3 2 t2+3 3 t+ 7 3 2 (1≤t＜3) -4 3 t+20 3 (3≤t＜4) 3 t2-12 3 t+36 3 (4≤t＜6)

；

（3）存在．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB=

BC

AB

=

3

3

，
∴∠CAB=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3-t或t-3，
1）當(dāng)AH=AO=3時(shí)，（如圖5），過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AH于M，
則AM=

1

2

AH=

3

2

，
在Rt△AME中，cos∠MAE=

AM

AE

，
即cos30°=

3 2

AE

，
∴AE=

3

，即3-t=

3

或t-3=

3

，
∴t=3-

3

或t=3+

3

，

2）當(dāng)HA=HO時(shí)，（如圖6）則∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，
∴AE+2AE=3，AE=1，
即3-t=1或t-3=1，
∴t=2或t=4；

3）當(dāng)OH=OA時(shí)，（如圖7），則∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴點(diǎn)E和點(diǎn)O重合，
∴AE=AO=3，
當(dāng)E剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)3-t=3，
當(dāng)點(diǎn)E返回O時(shí)是：t-3=3，
即3-t=3或t-3=3，t=6（舍去）或t=0；

綜上所述，存在5個(gè)這樣的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3-

3

或t=3+

3

或t=2或t=4或t=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了特殊三角形、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的有關(guān)知識(shí)．關(guān)鍵是根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，分類討論．