Question

如圖1，圓O₁與圓O₂都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD與圓O₁交于點(diǎn)C，與圓O₂交于點(diǎn)D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF與圓O₁交于點(diǎn)E，與圓O₂交于點(diǎn)F．

（1）求證：CE∥DF；
（2）在圖1中，若CD和EF可以分別繞點(diǎn)A和點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)（如圖2），過(guò)點(diǎn)E作直線MN∥DF，試判斷直線MN與圓O₁的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需連接AB，利用“圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角”證明∠E+∠F=180°，從而證明CE∥DF；
（2）作輔助線：構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是90°．利用平行線的性質(zhì)求出∠ABE=∠AHE，根據(jù)“圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角”得出∠D=∠ABE，所以得到∠MEA=∠AHE，∠MEA+∠AEH=90°，利用切線的判定定理，可知MN為⊙O₁的切線．
解答：（1）證明：連接AB；
∵四邊形ABEC是⊙O₁的內(nèi)接四邊形，
∴∠BAD=∠E．
又∵四邊形ADFB是⊙O₂的內(nèi)接四邊形，
∴∠BAD+∠F=180°．
∴∠E+∠F=180°．
∴CE∥DF．

（2）解：MN與⊙O₁相切，
過(guò)E作⊙O₁的直徑EH，連接AH和AB；
∵M(jìn)N∥DF，
∴∠MEA=∠D．
又∵∠D=∠ABE，∠ABE=∠AHE，
∴∠MEA=∠AHE．
∵EH為⊙O₁的直徑，
∴∠EAH=90°．
∴∠AHE+∠AEH=90°．
∴∠MEA+∠AEH=90°．
又∵EH為⊙O₁的直徑，
∴MN為⊙O₁的切線．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相交兩圓的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的有關(guān)性質(zhì)．這些基本性質(zhì)和輔助線的基本作法要掌握．
“圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角”、“圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”是圓內(nèi)接四邊形中的基本性質(zhì)．