Question

【題目】如圖，等邊三角形的邊長為，點為上的一點，點為上的一點，

連結(jié)、，．

求證：①；②；

若，求和的長．

Answer 1

【答案】(1) ①見解析; ②見解析;(2)，．

【解析】

（1）①由△ABC為等邊三角形，可得∠B=∠C=60°，又∠APD=60°，由三角形外角的性質(zhì)可得∠DPC=∠PAB，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可得△ABP∽△PCD；②利用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明△ADP∽△APC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）由（1）知△ABP∽△PCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AB：PC=BP：CD，代入數(shù)據(jù)求得CD的長，即可得AD的長，再利用AP2=ADAC求得AP的長即可．

證明：①在等邊三角形中，，
∵，，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴；解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵等邊三角形的邊長為，，，
，，
∴．