Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=

a

x

的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，已知OA=

5

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

1

2

，m），過點(diǎn)A作AH⊥x軸，垂足為H，AH=

1

2

HO．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A的坐標(biāo)求出反比例函數(shù)的解析式為y=

-2

x

，再求出B的坐標(biāo)是（

1

2

，-4），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；
（2）把△AOB的面積分成兩個部分求解S_△AOB=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×4=

15

4

．

解答：解：∵AH⊥x軸，且OA=

5

，AH=

1

2

HO
∴由勾股定理AO²=AH²+HO²，
可化為AO2=

1

4

HO2+HO2，
解得HO=2，AH=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為A（-2，1），代入反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

a

x

中，
得a=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

-2

x

．
∵點(diǎn)B（

1

2

，m）在y=

-2

x

上，
∴B（

1

2

，-4）
把A（-2，1）、B（

1

2

，-4）代入y=kx+b，得

-2k+b=1 1 2 k+b=-4

，
解得

k=-2 b=-3

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x-3；

（2）y=-2x-3中，當(dāng)y=0時，x=-

3

2

；
∴直線y=-2x-3和x軸的交點(diǎn)C點(diǎn)的坐標(biāo)為C（-

3

2

，0）
∴OC=

3

2

∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×4=

15

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，在求解面積時要把面積分解為兩部分之和進(jìn)行求解．