Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，直線NB分別交直線CM，射線AE于點(diǎn)F、D．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：直接寫出∠NDE= 度；

（2）拓展探究：試判斷，如圖②當(dāng)∠EAC為鈍角時(shí)，其他條件不變，∠NDE的大小有無變化？請給出證明．

（3）如圖③，若∠EAC=15°，BD=，直線CM與AB交于點(diǎn)G，其他條件不變，請直接寫出AC的長．

Answer 1

【答案】（1）90°；

（2）證明見解析；

（3）AC=2．

【解析】分析：（1）根據(jù)題意證明△MAC≌△NBC即可；（2）∠NDE的大小不變，證明△MAC≌△NBC，得到∠N=∠AMC，又∠MFD=∠NFC，所以∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°．（3）先證明△MAC≌△NBC，所以∠NBC=∠MAC=15°，再證明∠BDH=∠ACH=90°，∠ABD=60°，求出AB=2，根據(jù)AC=ABcos45°，即可解答．

本題解析：

(1)∵∠ACB=90°,∠MCN=90°，∴∠ACM=∠BCN，

在△MAC和△NBC中，

，∴△MAC≌△NBC，∴∠NBC=∠MAC=90°，

又∵∠ACB=90°,∠EAC=90°，∴∠NDE=90°.

故答案為：90°.

(2)∠NDE的大小不變，

在△MAC和△NBC中，

，∴△MAC≌△NBC，∴∠N=∠AMC，

又∵∠MFD=∠NFC，∴∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°.

(3)AC=2，

在△MAC和△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，∴∠NBC=∠MAC=15°，

如圖③，設(shè)BC與AD交于點(diǎn)H，

又∵∠AHC=∠BHD，∴∠BDH=∠ACH=90°，

∴在Rt△ABD中,∠ABD=∠ABC+∠NBC=45°+15°=60°

∵BD=，∴AB=2，

∴AC=ABcos45°=2.