Question

如圖，在銳角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1．分別以A、B為直角頂點(diǎn)，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分別過(guò)點(diǎn)E、F作邊AB所在直線的垂線，垂足為M，N．

（1）求證：EM+FN=AB；
（2）求△ABC面積的最大值；
（3）當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，在直線MN上找一點(diǎn)P，使得EP+FP的值最小，求出這個(gè)最小值．（結(jié)果可保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)C作CG垂直于AB，由EA垂直于AC，利用平角的定義得到一對(duì)角互余，再由CG垂直于AG，得到一對(duì)角互余，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等及AE=AC，利用AAS得到三角形ACG與三角形AEM全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到EM=AG，同理得到BG=FN，由AB=AG+GB，等量代換即可得證；
（2）在三角形ABC中，由∠ACB的度數(shù)及AB的長(zhǎng)，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式變形求出AC•BC的最大值，再利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值；
（3）根據(jù)三角形ABC面積最大時(shí)，AC=BC，作出E、F關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′、F′，連接E′F，過(guò)G點(diǎn)，當(dāng)P與G重合時(shí)，EP+FP最小，最小距離為E′F，作出△ABC的外接圓，由∠ACB=45°，利用同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半得到∠AOB=90°，再由OA=OB，得到三角形AOB為等腰直角三角形，由AB的長(zhǎng)求出三角形ABC外接圓半徑長(zhǎng)，以及OG的長(zhǎng)，由CO+OG求出CG的長(zhǎng)，即為MA與NB的長(zhǎng)，由MA+AB+NB求出MN長(zhǎng)，即為E′F′長(zhǎng)，在直角三角形E′FF′中，由E′F′與FF′長(zhǎng)，利用勾股定理求出E′F的長(zhǎng)，即為EP+FP的最小值．
解答：解：（1）過(guò)C作CG⊥AB，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵△AEC為等腰直角三角形，
∴∠EAC=90°，AE=AC，
∴∠CAG+∠EAM=90°，
∴∠ACG=∠EAM，
∵在△ACG和△EAM中，
，
∴△ACG≌△EAM（AAS），
∴EM=AG，
同理GB=FN，
∴AB=AG+GB=EM+FN；

（2）在△ABC中，∠ACB=45°，AB=1，
∴根據(jù)余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB，
即1=AC²+BC²-AC•BC≥2AC•BC-AC•BC=（2-）AC•BC，
∴AC•BC≤=，即AC•BC的最大值為，此時(shí)AC=BC取等號(hào)，
則△ABC面積的最大值為AC•BCcos∠ACB=；


（3）當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，AC=BC，作出E、F關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′、F′，連接E′F，過(guò)G點(diǎn)，
當(dāng)P與G重合時(shí)，EP+FP最小，最小距離為E′F，
作出△ABC的外接圓，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，
∵AB=1，∴OA=OB=OC=，OG=AG=BG=，
∴MA=CG=NB=，
∴E′F′=MN=MA+AB+NB=2CG+AB=+1+1=+2，F(xiàn)F′=1，
在Rt△E′FF′中，根據(jù)勾股定理得：E′F==，
則EP+FP的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，軸對(duì)稱(chēng)-最短線路問(wèn)題，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．