Question

（2012•通州區(qū)一模）已知二次函數(shù)y=-x²+2ax-4a+8
（1）求證：無論a為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求a的取值范圍．
（3）以二次函數(shù)y=-x²+2ax-4a+8圖象的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形AMN（M，N兩點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上），請問：△AMN的面積是與a無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷，若△＞0，則-x²+2ax-4a+8=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即
二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此可求出a的取值范圍．
（2）將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，找到對稱軸，根據(jù)對稱軸在x=2的左側(cè)或與x=2重合得到a≤2．
（3）解法一：正三角形的面積只與二次函數(shù)圖形的開口大小有關(guān)，二次函數(shù)y=-x²+2ax-4a+8的圖象可以看做是二次函數(shù)y=-x²的圖象通過平移得到的，于是研究y=-x²的圖象與正三角形△A'M'N'的面積即可，計(jì)算出M′N′H和A′B′即可計(jì)算三角形的面積為定值；
解法二：根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性，可知MN⊥y軸，利用三角函數(shù)求出AB=

3

BM，設(shè)M（m，n），得到BM=a-m（m＜a），AB=y_A-y_B=a²-4a+8-n，計(jì)算出它們的值，利用三角形面積公式計(jì)算出面積為定值．

解答：解：（1）∵△=4a²-16a+32=4（a-2）²+16，
無論a為何實(shí)數(shù)△=4（a-2）²+16＞0，
∴拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）∵y=-x²+2ax-4a+8，
∴y=-（x-a）²+a²-4a+8，
∴由題意得，對稱軸在x=2的左側(cè)或與x=2重合，
故a≤2．

（3）如圖：

解法一：以二次函數(shù)y=-x²+2ax-4a+8圖象的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形AMN（M，N兩點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上），
這個(gè)正三角形的面積只與二次函數(shù)圖形的開口大小有關(guān)．
二次函數(shù)y=-x²+2ax-4a+8的圖象可以看做是二次函數(shù)y=-x²的圖象通過平移得到的．
如圖，正三角形AMN的面積等于正三角形△A'M'N'的面積．
因此，與a的取值無關(guān)，
∵點(diǎn)A'，M，'N'在二次函數(shù)y=-x²的圖象上，
∴A'（0，0），M'（-m，-m²），N'（m，-m²），B'（0，-m²），B'N'=m，A′B′=

3

m，
∵點(diǎn)N'在y=-x²的圖象上，
∴A'B'=m²，
∴m2=

3

m，
∴m=0，或m=

3

m=0（舍去），
∴m=

3

，
∴M′N′=2

3

，A'B'=3，
∴△A′M′N′=

1

2

M′N′×A′B′=

1

2

2

3

×3=3

3

，
∴正三角形AMN的面積是與a無關(guān)的定值，定值為3

3

．
解法二：根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性，可知MN⊥y軸，
設(shè)拋物線的對稱軸與MN交于點(diǎn)B，則AB=

3

BM，
設(shè)M（m，n），
∴BM=a-m（m＜a），
又AB=y_A-y_B=a²-4a+8-n
=（a²-4a+8）-（-m²+2am-4a+8）

=a2-2ma+m2 =(a-m)2

∴(a-m)2=

3

(a-m)，
∴a-m=

3

，
∴BM=

3

，AB=3，
∴S△AMN=

1

2

AB×2BM=

1

2

×3×2×

3

=3

3

，
∴正三角形AMN的面積是與a無關(guān)的定值．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題、根的判別式、對稱軸與不等式、二次函數(shù)的平移、正三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)，思維含量高，需要同學(xué)們加強(qiáng)練習(xí)，方能正確解答．