Question

（2009•蕪湖）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A（-1，0），B（0，），O（0，0），將此三角板繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O．
（1）如圖，一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，B′，求該拋物線解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求使四邊形PBAB′的面積達(dá)到最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以得到OB的長，而OB′=OB=，因而B′的坐標(biāo)就可以得到是（，0），已知A，B，B′的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．
（2）S_{四邊形PBAB′}=S_△BAO+S_△PBO+S_△POB′，△OAB的面積是一個(gè)定值，不變，OB，OB′的長度可以求出，△BAO的邊OB上的高是P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而△POB′，OB′邊上的高是P的縱坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），則△BAO和△POB′的面積都可以用x，y表示出來，從而得到函數(shù)解析式．使四邊形PBAB′的面積達(dá)到最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，就是求函數(shù)的最值問題，可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到．
解答：解：（1）∵拋物線過A（-1，0），B′（，0）
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-）（a≠0）
又∵拋物線過B（0，），
∴將坐標(biāo)代入上解析式得
=a×（-）
即a=-1
∴y=-（x+1）（x-）
即滿足件的拋物線解析式為y=-x²+（-1）x+．

（2）（解法一）：如圖1
∵P為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)
設(shè)P（x，y）則x＞0，y＞0
P點(diǎn)坐標(biāo)滿足y=-x²+（-1）x+
連接PB，PO，PB′
∴S_{四邊形PBAB′}=S_△BAO+S_△PBO+S_△POB′
=+x+y=（x+y+1）
=[x-x²+（-1）x++1]=[-（x-）²+]
當(dāng)x=時(shí)，S_{四邊形PBAB′}最大，
此時(shí)，y=．即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）時(shí)，
S_{四邊形PBAB′}最大，最大面積為．
（解法二）：如圖2，連接BB′
∵P為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)
∴S_{四邊形PBAB′}=S_△ABB′+S_△PBB′，且△ABB′的面積為定值
∴S_{四邊形PBAB′}最大時(shí)S_△PBB′必須最大
∵BB′長度為定值
∴S_△PBB′最大時(shí)點(diǎn)P到BB′的距離最大
即將直線BB′向上平移到與拋物線有唯一交點(diǎn)時(shí)，
P到BB′的距離最大．
設(shè)與直線BB′平行的直線l的解析式為y=-x+m
聯(lián)立
得x²-x+m-=0
令△=（）²-4（m-）=0
解得m=+
此時(shí)直線l的解析式為y=-x++
∵
解得
∴直線l與拋物線唯一交點(diǎn)坐標(biāo)為P（，）
設(shè)l與y軸交于E，則BE=+-=
過B作BF⊥l于F
在Rt△BEF中，∠FEB=45°
∴BF=sin45°=
過P作PG⊥BB′于G
則P到BB′的距離d=BF=
此時(shí)四邊形PBAB′的面積最大
∴S_{四邊形PBAB′}的最大值=AB′•OB+BB′•d=（+1）×+××=．
點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及函數(shù)的最值，求最值問題的基本思路就轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．