如圖①,在△ABC中,CD、CE分別是△ABC的高和角平分線,∠BAC=α,∠B=β(α>β).
(1)若α=70°,β=40°,求∠DCE的度數(shù);
(2)試用α、β的代數(shù)式表示∠DCE的度數(shù)(直接寫出結(jié)果);
(3)如圖②,若CE是△ABC外角∠ACF的平分線,交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且α-β=30°,求∠DCE的度數(shù).

解:(1)因?yàn)椤螦CB=180°-(∠BAC+∠B)=180°-(70°+40°)=70°,
又因?yàn)镃E是∠ACB的平分線,
所以
因?yàn)镃D是高線,
所以∠ADC=90°,
所以∠ACD=90°-∠BAC=20°,
所以∠DCE=∠ACE-∠ACD=35°-20°=15°.

(2)

(3)如圖,作∠ACB的內(nèi)角平分線CE′,

因?yàn)镃E是∠ACB的外角平分線,
所以∠ECE′=∠ACE+∠ACE′===90°,
所以∠DCE=90°-∠DCE′=90°-15°=75°.
即∠DCE的度數(shù)為75°.
分析:(1)三角形的內(nèi)角和是180°,已知∠BAC與∠ABC的度數(shù),則可求出∠BAC的度數(shù),然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠BCE,再利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠DEC的度數(shù),進(jìn)而求出∠DCE的度數(shù);
(2)
(3)作∠ACB的內(nèi)角平分線CE′,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′==90°,進(jìn)而求出∠DCE的度數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理,解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系.解決(3),作輔助線是關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

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已知:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn).以BD為直徑作圓O,交邊AB于點(diǎn)P,連接PC,交AD于點(diǎn)E.
(1)求證:AD是圓O的切線;
(2)當(dāng)∠BAC=90°時(shí),求證:
PE
CE
=
1
2

(3)如圖2,當(dāng)PC是圓O的切線,E為AD中點(diǎn),BC=8,求AD的長(zhǎng).精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們給出如下定義:有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請(qǐng)解答下列問題:
(1)寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;
(2)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC上,且CD=CA,點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.求證:四邊形AGEC是等鄰角四邊形;
(3)如圖2,若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部,(2)中的其他條件不變,EF與CD交于點(diǎn)H,圖中是否存在等鄰角四邊形,若存在,指出是哪個(gè)四邊形,不必證明;若不存在,請(qǐng)說精英家教網(wǎng)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知:如圖1,在四邊形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求證:AB+AC>
BC2+CD2
;
(2)已知:如圖2,在△ABC中,AB上的高為CD,試判斷(AC+BC)2與AB2+4CD2之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線,點(diǎn)D是垂足,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),規(guī)定:λA=
DE
BD
.如圖2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在△ABC中,∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O.
(1)求證:∠AOC=90°+
12
∠ABC;
(2)當(dāng)∠ABC=90°時(shí),且AO=3OD(如圖2),判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

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