【題目】如圖a,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(4,0) 、C(02),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.

1)求出拋物線的解析式.

2)如圖b,將ABCAB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到BAC′,試判斷四邊形BC′AC的形狀.并證明你的結(jié)論.

3)如圖a,在拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得以A、B、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ABC全等?若存在,請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在請說明理由.

【答案】1y=x2+x+2;(2)四邊形BC′AC為矩形,見解析;(3)存在,(32

【解析】

1)由點(diǎn)A、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

2)由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可得出OA、OC、OB的長度,利用勾股定理可求出ACBC的長,由AC2+BC2=25=AB2可得出∠ACB=90°,再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可找出四邊形BC′AC為矩形;

3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D,設(shè)Dx, x2+x+2),則有-x2+x+2=2,求出x的值再進(jìn)行判斷即可.

1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(4,0) C(0,2),

解得,

∴拋物線的解析式為:y=x2+x+2

2)四邊形BC′AC為矩形.

y=0,則-x2+x+2=0,解得,

B(-1,0

A(4,0) 、C(0,2),

OB=1OA=4,OC=2

由勾股定理求得:BC=,AC=2

AB=5,

ABC直角三角形,∠BCA=90°

ABCAB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到BAC′,則A、B互為對應(yīng)點(diǎn),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:BC=AC',AC=BC'

∴四邊形BC′AC為平行四邊形,

又∠BCA=90°

∴四邊形BC′AC為矩形.

3)設(shè)Dx, x2+x+2),則有-x2+x+2=2

解得,(不符合題意,舍去),

D32

故存在點(diǎn)D,使得以A、B、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ABC全等.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(32.

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