Question

（2012•自貢）如圖AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C．
（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的長；
（2）若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)切線的性質(zhì)判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函數(shù)的定義求得AP的長度；
（2）連接OC，OD、AC構(gòu)建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的對應(yīng)角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．

解答：（1）解：∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°；
又∵AB=2，∠P=30°，
∴AP=

AB

tan∠P

=

2

3 3

=2

3

，即AP=2

3

；

（2）證明：如圖，連接OC，OD、AC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠ACP=90°；
又∵D為AP的中點(diǎn)，
∴AD=CD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；
在△OAD和△OCD中，

OA=OC OD=OD(公共邊) AD=CD

，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的對應(yīng)角相等）；
又∵AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，即直線CD是⊙O的切線．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法．