Question

 初始問題：如圖1，已知兩個同心圓，直線AD分別交大⊙O于點A、D，交小⊙O于點B、C．
AB與CD相等嗎？請證明你的結(jié)論．
類比研究：如圖2，若兩個等邊三角形ABC和A₁ B₁ C₁的中心（點O）相同，且滿足AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，AC∥A₁C₁，可知AB與A₁B₁，BC與B₁C₁，AC與A₁C₁之間的距離相等．
直線MQ分別交三角形的邊于點M、N、P、Q，與AB所成夾角為∠α（30°＜∠α＜90°）．
（1）求

MN

PQ

（用含∠α的式子表示）；
（2）求∠α等于多少度時，MN=PQ．

Answer 1

分析：【初始問題】作OE⊥AD于E，根據(jù)題意即可推出AE=ED，BE=EC，根據(jù)等式的性質(zhì)推出AE-BE=ED-EC，可得AB=CD，
【類比研究】（1）如圖，作ND⊥AB于D，PE⊥AC于E，由AB∥A₁B₁，可得∠1=∠α，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可推出∠2=120°-∠1=120°-∠α，由AC∥A₁C₁，推出∠PQE=∠2=120°-∠α，根據(jù)30°＜∠α＜90°，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可推出30°＜120°-∠α＜90°，然后根據(jù)Rt△MDN和Rt△QEP，結(jié)合銳角三角函數(shù)的性質(zhì)推出DN=MN•sin∠α，PE=PQ•sin（120°-∠α），通過計算即可推出

MN

PQ

=

sin(120°-∠α)

sin∠α

，（2）當(dāng)120°-∠α=∠α?xí)r，即∠α=60°時，MN=PQ．

解答：解：【初始問題】結(jié)論：AB=CD，
證明：如圖，作OE⊥AD于E，
∴AE=ED，BE=EC，
∴AE-BE=ED-EC，
即 AB=CD，

【類比研究】（1）如圖，作ND⊥AB于D，PE⊥AC于E，
則 ND=PE，
∵AB∥A₁B₁，
∴∠1=∠α，
∵等邊三角形A₁ B₁ C₁中，∠A₁=60°，
∴∠2=120°-∠1=120°-∠α，
∵AC∥A₁C₁，
∴∠PQE=∠2=120°-∠α，
∵30°＜∠α＜90°，
∴30°＜120°-∠α＜90°，
∴在Rt△MDN和Rt△QEP中，
DN=MN•sin∠α，PE=PQ•sin（120°-∠α），
∴MN•sin∠α=PQ•sin（120°-∠α），
∴

MN

PQ

=

sin(120°-∠α)

sin∠α

，

（2）當(dāng)120°-∠α=∠α?xí)r，即∠α=60°時，MN=PQ．

點評：本題主要考查垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值等知識點，關(guān)鍵在于綜合熟練的運用各相關(guān)的性質(zhì)定理，認(rèn)真的進(jìn)行計算．