【答案】
分析:(1)由D為
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的中點,根據(jù)圓周角定理得到∠CAD=∠DAB,而∠DAB=∠ADO,則∠CAD=∠ADO,于是有AE∥OD,又DE⊥AC,即可得到結(jié)論;
(2)連CD,BD,利用直徑所對的圓周角為直角以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)易得到∠ECD=∠ADE=∠B,根據(jù)三角形相似的判定有Rt△ECD∽Rt△EDA,則DE:AE=CE:DE,即3:AE=1:3,求出AE,然后利用勾股定理計算出AD.
解答:(1)證明:∵D為
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的中點,
∴弧CD=弧BD,
∴∠CAD=∠DAB,
而∠DAB=∠ADO,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AE∥OD,
而DE⊥AC,
∴OD⊥DE;
(2)解:連CD,BD,如圖,
∵AB為⊙O直徑,
∴∠ADB=90°,
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∴∠B+∠BAD=90°,
而∠ADE+∠EAD=90°,
∴∠ADE=∠B,
又∵∠ECD=∠B,
∴∠ECD=∠ADE,
∴Rt△ECD∽Rt△EDA,
∴DE:AE=CE:DE,即3:AE=1:3,
∴AE=3,
∴AD=
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=
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=3
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.
點評:本題考查了圓周角定理:在同圓和等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半.也考查了垂徑定理以及三角形相似的判定與性質(zhì).