Question

在數(shù)學(xué)中，為了簡(jiǎn)便，記

n

k=1

k=1+2+3+…+(n-1)+n，

n

k=1

(x+k)=（x+1）+（x+2）+…+（x+n）
（1）請(qǐng)你用以上記法表示：1+2+3+…+2008=

 

；
（2）化簡(jiǎn)：

10

k=1

(x-k)

 

；
（3）

3

k=1

[(x-k)(x-k-1)]=

 

；
（4）

2008

k=1

(x-k)2-

2007

k=1

(x-k)2-20082=

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，令n=2008，代入

n

k=1

k=1+2+3+…+(n-1)+n，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意總結(jié)規(guī)律

n

k=1

(x-k)=（x-1）+（x-2）+…+（x-n），令n=10代入，去括號(hào)合并即可得出結(jié)果；
（3）根據(jù)總結(jié)的規(guī)律，令k=1，2，3分別代入（x-k）（x-k-1）中，并把求出三個(gè)式子相加，利用多項(xiàng)式的乘法法則化簡(jiǎn)，合并同類項(xiàng)后即可得到最后結(jié)果；
（4）根據(jù)題意總結(jié)規(guī)律

n

k=1

(x-k)2=（x-1）²+（x-2）²+（x-3）²+…+（x-n）²，然后令n=2008及2007分別表示出

2008

k=1

(x-k)2和

2007

k=1

(x-k)2，代入所求的式子中，去括號(hào)合并后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)

n

k=1

k=1+2+3+…+(n-1)+n，
令n=2008，得到1+2+3+…+2008=

2008

k=1

k；
（2）根據(jù)題意得：

10

k=1

(x-k)=（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+（x-10）
=10x-（1+2+3+…+10）=10x-

10(1+10)

2

=10x-55；
（3）根據(jù)題意得：

3

k=1

[(x-k)(x-k-1)]=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4）
=x²-3x+2+x²-5x+6+x²-7x+12=3x²-15x+20；
（4）根據(jù)題意得：

2008

k=1

(x-k)2-

2007

k=1

(x-k)2-20082=（x-1）²+（x-2）²+（x-3）²+…+（x-2007）²+（x-2008）²-[（x-1）²+（x-2）²+（x-3）²+…+（x-2007）²]-2008²
=（x-2008）²-2008²=x²-4016x+2008²-2008²=x²-4016x．
故答案為：

2008

k=1

k；10x-55；3x²-15x+20；x²-4016x

點(diǎn)評(píng)：此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及新定義．此題培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題的能力，以及歸納總結(jié)的能力．認(rèn)真觀察題中的新定義，得出相應(yīng)的一般性的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．