Question

閱讀下面材料：
對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋．對于平面圖形A，如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋．
例如：圖中①的三角形被一個圓覆蓋，②中的四邊形被兩個圓所覆蓋．
回答下列問題：
（1）邊長為1cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是

 

cm；
（2）邊長為1cm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是

 

cm；
（3）長為2cm，寬為1cm的矩形被兩個半徑均為r的圓所覆蓋，r的最小值是

 

cm．這兩個圓的圓心距是

 

cm

Answer 1

分析：當(dāng)一個圖形被一個圓覆蓋時，當(dāng)圓是這個圖形的外接圓時，圓最小；當(dāng)矩形被兩圓覆蓋，圓最小時，兩圓的公共弦一定是1cm，則每個圓內(nèi)的部分是一個邊長是1的正方形．

解答：解：（1）以正方形的對角線為直徑做圓是覆蓋正方形的最小圓，半徑r的最小值=

2

2

；

（2）邊長為1 cm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，這個最小的圓是正三角形的外接圓，如圖作三角形ABC的高AD構(gòu)成直角三角形ABD，斜邊AB=1，BD=

1

2

，
因為三角形是正三角形，
所以∠ABC=60°，O是外心，所以∠OBC=30°，OD=

1

2

OB，
設(shè)OA=OB=x，則OD=

1

2

x，
在直角三角形OBD中，根據(jù)勾股定理列方程：x²=（

1

2

）²+（

1

2

x）²，
解得：x=

3

3

．


（3）如圖：矩形ABCD中AB=1，BC=2，則覆蓋ABCD的兩個圓與矩形交于E、F兩點，由對稱性知E、F分別是AD和BC的中點，則四邊形ABFE、EFCD是兩個邊長為1的正方形，所以圓的半徑r=

2

2

，兩圓心距=1．

點評：正確理解什么情況下圓最小是解決本題的關(guān)鍵．