Question

李大爺有一個邊長為a的正方形魚塘（圖1），魚塘四個角的頂點A、B、C、D上各有一棵大樹．現在李大爺想把原來的魚塘擴建成一個圓形或正方形魚塘（原魚塘周圍的面積足夠大），又不想把樹挖掉（四棵大樹要在新建魚塘的邊沿上）．
（1）若按圓形設計，利用（圖1）畫出你所設計的圓形魚塘示意圖，并求出網形魚塘的面積；
（2）若按正方形設計，利用（圖2）畫出你所設計的正方形魚塘示意圖；
（3）你在（2）所設計的正方形魚塘中，有無最大面積？為什么？
（4）李大爺想使新建魚塘面積最大，你認為新建魚塘的最大面積是多少？

Answer 1

解：（1）如圖1所示，
AC==a，
∴S_⊙O=πa²；


（2）如圖2所示；

（3）有最大面積；
如圖2，由作圖知，Rt△ABH，Rt△BGC、Rt△CDF和Rt△AED為四個全等的三角形．因此，只要Rt△ABH的面積最大，就有正方形EFGH的面積最大．然而，Rt△ABH的斜邊AB=a為定值，所以，點E在以AB為直徑的半圓上，當點E正好落在線段AB的中垂線上時，面積最大（斜邊為定值的直角三角形以等腰直角三角形面積最大），其最大面積為a²，從而得正方形EFGH的最大面積為4×a²+a²=2a²；

（4）由圖1可知，所設計的圓形魚塘的面積S_圓=πa²＜2a²，所以，我認為李大爺新建魚塘的最大面積是2a²，它是一個正方形魚塘．
分析：（1）因為四棵大樹要在新建圓形魚塘的邊沿上，所以所求的圓是正方形的外接圓，利用90度的圓周角對的弦是直徑，連接AC，AC的中點即為圓的圓心，半徑是AC，利用勾股定理又可求出AC的長，從而求出圓的面積；
（2）過A、C作兩條平行線HE、FG，過B、D作兩條平行線HG、EF，使它們的交角為直角即可；
（3）因為斜邊為定值的直角三角形以等腰直角三角形面積最大，所以當三角形AHB、AED、DFC、BGC都是等腰直角三角形時，魚塘面積最大，又因這些三角形的斜邊都為a，所以它們全等，即A、B、C、D分別是正方形的四邊中點，此時正方形魚塘的對角線為2a，由此可求出最大的面積；
（4）比較圓形和正方形魚塘的最大面積即可解決問題．
點評：本題一方面考查了學生的動手操作能力，另一方面考查了學生的空間想象能力，重視知識的發(fā)生過程，讓學生體驗學習的過程．