Question

先觀察下列等式，再回答問題：

① 1+ 1 12 + 1 22 =1+ 1 1 - 1 1+1 =1 1 2 ； ② 1+ 1 22 + 1 32 =1+ 1 2 - 1 2+1 =1 1 6 ； ③ 1+ 1 32 + 1 42 =1+ 1 3 - 1 3+1 =1 1 12

（1）根據(jù)上面三個等式提供的信息，請猜想

1+ 1 42 + 1 52

的結(jié)果，并進行驗證；
（2）根據(jù)上面的規(guī)律，可得

1+ 1 92 + 1 102

=

 

．
（3）請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式，并加以驗證．

Answer 1

分析：由題意：

(1) 1+ 1 12 + 1 22 =1+ 1 1 - 1 1+1 =1 1 2 ； (2) 1+ 1 22 + 1 32 =1+ 1 2 - 1 2+1 =1 1 6 ； (3) 1+ 1 32 + 1 42 =1+ 1 3 - 1 3+1 =1 1 12

（1）將

1+ 1 32 + 1 42

中的3用4代替，4用5代替
（2）將

1+ 1 32 + 1 42

中的3用9代替，4用10代替
（3）根據(jù)（1）、（2）總解規(guī)律，其中3用n，4用（n+1）代替．

解答：解：（1）

1+ 1 42 + 1 52

=1+

1

4

-

1

4+1

=1

1

20

驗證：

1+ 1 42 + 1 52

=

1+ 1 16 + 1 25

= 

441 16×25

= 

21

20

 =1

1

20

（2）

1+ 1 92 + 1 102

=1+

1

9

-

1

10

=1

1

90

（3）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n2+n

驗證：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2  n2(n+1)2

=

n2(n+1)2+n2+2n+1+n2 n2(n+1)2

=

n2(n+1)2 +2n(n+1)+1 n2(n+1)2

=

(n2+n+1)2 n2(n+1)2

=

n2+n+1

n(n+1)

=

n2+n

n2+n

+

1

n2+n

=1+

1

n2+n

點評：本題屬于探索規(guī)律型，主要考查學(xué)生的觀察及學(xué)習(xí)能力，并根據(jù)觀察總結(jié)規(guī)律的能力．這種類型的題目，能夠考察到學(xué)生的實際水平，因而同學(xué)們一定要足夠的重視．