Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P在AD上，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AC交AB于點(diǎn)M，作PN∥AB交AC于點(diǎn)N．
（1）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且AP：PD=2：1，求AM：AB的值；
（2）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，試證明

AM

AB

=

AN

AC

；
（3）若點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，試證明

AM

AB

+

AN

AC

=

AP

AD

．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE∥PM交AB于E，由點(diǎn)D為BC中點(diǎn)與AP：PD=2：1，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
（2）延長(zhǎng)AD至點(diǎn)Q，使DQ=AD，連BQ、CQ，易得四邊形ABQC是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得PM∥BQ，PN∥CQ，繼而可得

AM

AB

=

AN

AC

；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DE∥PM交AB于E，即可得

AM

AE

=

AP

AD

，又由PM∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得

AE

AB

=

CD

BC

，繼而求得

AM

AB

+

AN

AC

=

AP

AD

．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE∥PM交AB于E，
∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，且

AM

AE

=

AP

AD

，（2分）
∴

AM

AB

=

AM

2AE

=

1

3

；（1分）

（2）延長(zhǎng)AD至點(diǎn)Q，使DQ=AD，連BQ、CQ，
則四邊形ABQC是平行四邊形．（1分）
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴

AM

AB

=

AP

AQ

，

AN

AC

=

AP

AQ

（2分）
∴

AM

AB

=

AN

AC

；（1分）
（注：像第（1）題那樣作輔助線也可以．）

（3）過(guò)點(diǎn)D作DE∥PM交AB于E，
∴

AM

AE

=

AP

AD

，（1分）
又∵PM∥AC，
∴DE∥AC
∴

AE

AB

=

CD

BC

，（1分）
∴

AM

AB

=

AM

AE

×

AE

AB

=

AP

AD

×

CD

BC

（1分）
同理可得：

AN

AC

=

AP

AD

×

BD

BC

（1分）
∴

AM

AB

+

AN

AC

=

AP

AD

×(

CD

BC

+

BD

BC

)=

AP

AD

．（1分）
（注：如果像第（2）題那樣添輔助線，也可以證．）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線分線段成比例定理與平行四邊形的性質(zhì)與判定．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．