Question

在直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（4

3

，0）．點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AO方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BO于點(diǎn)E，連接CD、DE．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段CD的長(zhǎng)為4；
（2）當(dāng)線段DE與以點(diǎn)O為圓心，半徑為

3

2

的⊙O有兩個(gè)公共交點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以C為圓心、CB為半徑的⊙C與（2）中的⊙O相切？

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，則CF，DF即可利用t表示出來(lái)，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一個(gè)關(guān)于t的方程，從而求得t的值；
（2）易證四邊形ADEC是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥DE于點(diǎn)G，當(dāng)線段DE與⊙O相切時(shí)，則OG=

3

2

，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，則OG也可以利用t表示出來(lái)，當(dāng)OG＜

3

2

時(shí)，直線與圓相交，據(jù)此即可求得t的范圍；
（3）分兩圓外切與內(nèi)切兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)外切時(shí)，圓心距等于兩半徑的和，當(dāng)內(nèi)切時(shí)，圓心距等于圓C的半徑減去圓O的半徑，列出方程即可求得t的值．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，
在Rt△AOB中，OA=4，OB=4

3

，
∴∠ABO=30°，
由題意得：BC=2t，AD=t，
∵CE⊥BO，
∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=

3

t，
∵CF⊥AD，AO⊥BO，
∴四邊形CFOE是矩形，
∴OF=CE=t，OE=CF=4

3

-

3

t，
在Rt△CFD中，DF²+CF²=CD²，
∴（4-t-t）²+（4

3

-

3

t）²=4²，即7t²-40t+48=0，
解得：t=

12

7

，t=4，
∵0＜t＜4，
∴當(dāng)t=

12

7

時(shí)，線段CD的長(zhǎng)是4；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥DE于點(diǎn)G（如圖2），
∵AD∥CE，AD=CE=t
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴DE∥AB
∴∠GEO=30°，
∴OG=

1

2

OE=

1

2

（4

3

-

3

t）
當(dāng)線段DE與⊙O相切時(shí)，則OG=

3

2

，
∴當(dāng)

1

2

（4

3

-

3

t）＜

3

2

，且t≥4-

3

2

時(shí)，線段DE與⊙O有兩個(gè)公共交點(diǎn)．
∴當(dāng) 4-

3

＜t≤

5

2

時(shí)，線段DE與⊙O有兩個(gè)公共交點(diǎn)；

（3）當(dāng)⊙C與⊙O外切時(shí)，t=

61

40

；
當(dāng)⊙C與⊙O內(nèi)切時(shí)，t=

61

24

；
∴當(dāng)t=

61

40

或

61

24

秒時(shí)，兩圓相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理以及直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，正確理解四邊形ADEC是平行四邊形是關(guān)鍵．